UNA NOTA SOBRE FRACTALES

 

Cuando era niño tenía una pesadilla recurrente en la que mi ser se sumergía en un medio microscópico aunque mi sensación era de estar abarcando la totalidad. De niño me daba miedo porque no entendía ... era una sensación angustiosa y asfixiante de aplastamiento ... era como ser pequeñísimo y enorme a la vez ...

Y al hacerme algo más mayor, un tema que me ha obsesionado toda la vida es el concepto de recursividad.

Anuncio de cacao con una imagen recursiva. La mujer muestra un paquete idéntico al del propio anuncio, conteniendo así a otra mujer que muestra otro paquete más pequeño, de forma recursiva.

Imagen recursiva formada por un triángulo de Sierpinski. Cada triángulo está compuesto de otros, compuestos a su vez de la misma estructura recursiva.

El conjunto de Mandelbrot (uno de los fractales más famosos) emerge a partir de una ecuación recursiva:

1. Elegimos un número complejo C
2. Partimos de x=0
3. Calculamos (el cuadrado de x) + C
4. Hacemos x = (al resultado de (3))
5. Volvemos al punto (3)

Si la iteración (3-4-5-3) (recurrencia) se estabiliza y no crece hasta el infinito, entonces C pertenece al conjunto de Mandelbrot. En realidad el fractal es la frontera entre el conjunto de Mandelbrot y el resto de números que no son este conjunto.

Y hay una relación matemática muy precisa entre la serie de Fibonacci, de donde surge la proporción áurea, y que sirve para explicar tantos fenómenos y estructuras de la naturaleza (crecimiento de poblaciones, girasoles, conchas de moluscos, etc.), y el conjunto de Mandelbrot. Pero es que además, otra ecuación recursiva (aplicación logística) que también se usa para modelizar el crecimiento de estructuras naturales como poblaciones, sirve para demostrar que el caos (indeterminación) puede emerger del sistema puramente determinista que es esa aplicación logística. Y, cómo no, esta estructura caótica es fractal y está dentro del conjunto de Mandelbrot. O sea, de los sistemas caóticos emergen fractales.

Aquí hay un video donde explican todo esto muy bien.

Otra cosa curiosa de los fractales es que son objetos que llenan un espacio de dimensión mayor que la del propio fractal. Un ejemplo es la curva de Hilbert, que es una curva de dimensión 1 que si la haces crecer de forma fractal dentro de un cuadrado acaba llenándolo todo, y también llena un cubo si la haces crecer dentro de él.

Esta cualidad de llenado óptimo, tan bien aprovechada por tantas estructuras de la naturaleza, también se da en el atractor de Lorenz, una figura que emerge de algunos sistemas dinámicos caóticos con comportamiento parecido a la atmósfera terrestre. Este atractor surge de una curva que nunca se cruza consigo misma, nunca pasa por el mismo lugar pero siempre alrededor de un par de puntos (atractores), por lo que va llenando de forma fractal el espacio en ese entorno.

La recursividad y los fractales también aparecen en el mundo del arte, como en las pinturas de Escher o en las fugas de Bach. Escher también trata la recursividad cuando muestra cómo conectar dos mundos sin relación aparente a través del tránsito de una frontera entre ellos que hace que cada uno de los mundos se transforme en el otro.

Y la recursividad además, puede conducir a atractores extraños dentro de la propia estructura del lenguaje:

La proposición

"esta proposición es falsa"

no puede ser ni falsa ni verdadera.

Gödel, el famoso matemático amigo de Einstein, ideó una manera de traducir a números una frase parecida para demostrar que los lenguajes computables como las matemáticas no pueden ser completos, es decir, que siempre contienen proposiciones indecidibles (sin posibilidad de saber si son ciertas o falsas).

Los descubrimientos de Gödel sirvieron de inspiración a otro genio de las matemáticas y la física, Roger Penrose, quien a partir de su propia interpretación de la decoherencia cuántica llamada reducción objetiva, y con la ayuda del piscólogo Stuart Hameroff, desarrolló la teoría de la reducción objetiva orquestada (Orch-Or en inglés).

Según esta teoría, dentro de los centriolos de las neuronas ocurren fenómenos cuánticos relevantes para la psinápsis que explicarían por qué la consciencia dentro de nuestro cerebro no es un fenómeno computable, al menos no sin computadoras cuánticas. El mecanismo, que permite un retraso notable en la pérdida de entrelazamiento de las moléculas implicadas a temperatura ambiente, es algo parecido a lo que ocurre en la fotosíntesis de plantas y bacterias y en la magnetodetección de las aves, pero, mientras en estos dos fenómenos la ralentización de la pérdida de coherencia o entrelazamiento cuántico redundaría en una optimización de tipo energético, la Orch-Or serviría para optimizar el flujo de información.

Para mí información y energía son dos caras de la misma moneda.

Gödel probó que los sistemas computables no podían generar conocimiento completo. Si es cierto que el cerebro es cuántico (no computable), ¿será capaz en potencia de un conocimiento pleno?

Por último, hace tiempo se me ocurrió que esta característica recursiva del lenguaje que explotó Gödel también servía para argumentar que dentro del más absoluto vacío, de la más absoluta nada, hay una verdad preexistente:

Si no existiera tal verdad, la proposición

"no existe ninguna verdad preexistente"

ya sería una verdad preexistente.

*    *    *

El holograma posee la característica de que cualquiera de sus partes contiene al todo.

El fractal posee la característica de que cualquiera de sus partes contiene al todo.

¿Es el universo un holograma o un fractal?

El universo se ve a sí mismo a través de los cerebros.

¿Es el cerebro un holograma o un fractal?

El cerebro se ve a sí mismo a través del lenguaje.

¿Es el lenguaje un holograma o un fractal?

¿Cómo conectar dos mundos sin relación aparente a través del tránsito de una frontera entre ellos que hace que cada uno de los mundos se transforme en el otro?